극좌표를 사용합니다. z1 = a (cosθ + i * sinθ) 및 z2 = b (cosφ + i * sinφ)로하자. 0 ≤ a, b 및 0 ≤ θ, φ <2π 인 경우.
z1 + z2 = (a * cosθ + b * cosφ) + i (a * sinθ + b * sinφ)이므로 so
| z1 + z2 | ^ 2
= (a * cosθ + b * cosφ) ^ 2 + (a * sinθ + b * sinφ) ^ 2
= a ^ 2 * cos ^ 2 (θ) + 2ab * cosθcosφ + b ^ 2 * cos ^ 2 (φ) [19659002] + a ^ 2 * sin ^ 2 (φ) + 2ab * sinθsinφ + b ^ 2 * sin ^ 2 (φ)
= a ^ 2 + 2ab (cosθcosφ + sinθsinφ) + b ^ 2
= a ^ 2 + 2ab * cos (θ-φ) + b ^ 2
≦ a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 ... 2ab은 음수가 아니기 때문에.
= (a + b) ^ 2
= (| z1 | + | z2 |) ^ 2
즉, | z1 + z2 | ^ 2 ≦ (| z1 | + | z2 |) ^ 2.
우리는 | z1 + z2 | 및 | z1 | + | z2 | 음수가 아닌,
so | z1 + z2 | ≦ | z1 | + | z2 | 스탠드.
등호는 2ab * cos (θ-φ) = 2ab 일 때 나타납니다. 즉,
1) 최소 1 개의 숫자는 0 (ab = 0) 또는
2) 2 개의 숫자의 인수는 같습니다 (cos (θ-φ) = 1).
| z1 + ... + zn | ≦ | z1 | + ... + | zn | n = 2 일 때 증명됩니다.
다음으로 | z1 + ... + zn | ≦ | z1 | + ... + | zn | n = k 일 때 나타납니다.
즉, | z1 + ... + zk | ≦ | z1 | + ... + | zk | .
z1 + ... + zk = z0이라고합시다. z0은 복소수이므로 so [[9009002] | z0 + z (k + 1) | ≦ | z0 | + | z (k + 1) | . ,
| z1 + ... + zk + z (k + 1) | ≦ | z1 + ... + zk | + | z (k + 1) |
그리고 가정에 의해
| z1 + ... + zk | + | z (k + 1) | ≦ | z1 | + ... + | zk | + | z (k + 1) |
따라서 찾을 수 있습니다
| z1 + ... + zk + z (k + 1) | ≦ | z1 | + ... + | zk | + | z (k + 1) |
즉,
| z1 + ... + zn | ≦ | z1 | + ... + | zn | n = k + 1 일 때 나타납니다.
그러므로 1965
| z1 + ... + zn | ≦ | z1 | + ... + | zn | n을 나타냅니다.
다음으로 등호의 조건을 생각해보십시오.
2 개의 복소수에 대한 조건을 찾았으므로
의 조건은 "0이 아닌 모든 수의 인수는 같습니다"입니다. 0이 아닌 1
만있는 경우 인수는 임의의 값이 될 수 있습니다.